Soil Mechanics: 흙의 기본적 성질 - 예제 3

문제

다음 식에서 간극비로 표시한 상대밀도와 밀도로 표시한 상대밀도가 동일함을 증명하여라.

\[D_{r} = \frac{e_{max} - e}{e_{max} - e_{min}} \times 100 = \frac{\rho_{dmax}}{\rho_{d}} \times \frac{\rho_{d} - \rho_{dmin}}{\rho_{dmax} - \rho_{dmin}} \times 100(\%)\]

여기서,

\[e_{min}\text{: 가장 촘촘한 상태에 있는 흙의 간극비}\] \[e_{max}\text{: 가장 느슨한 상태에 있는 흙의 간극비}\] \[e\text{: 자연 상태에 있는 흙의 간극비}\] \[\rho_{dmin}\text{: 가장 느슨한 상태에 있는 흙의 건조밀도}\] \[\rho_{dmax}\text{: 가장 촘촘한 상태에 있는 흙의 건조밀도}\] \[\rho_{d}\text{: 자연 상태에 있는 흙의 건조밀도}\]

풀이

증명의 방향은 \(\rightarrow\)든, \(\leftarrow\)든 무관하므로, 필자는 \(\leftarrow\)로 방향을 설정하고 증명을 진행하겠다.

다음의 건조밀도 식에서,

\[\rho_{d} = \frac{G_{s}}{1 + e}{\rho_{w}}\]

간극비 \(e\)의 값이 최대 즉, \(e_{max}\)라면, 건조밀도 \(\rho_{d}\)는 최소 즉, \(\rho_{dmin}\)이고,

간극비 \(e\)의 값이 최소 즉, \(e_{min}\)라면, 건조밀도 \(\rho_{d}\)는 최대 즉, \(\rho_{dmax}\)이므로,

“분자가 일정할 때 분모가 커지면 전체 식은 작아지고, 분모가 작아지면 전체 식은 커진다.”는 사실에 의거하여,

다음 식들 각각을,

\[\rho_{dmin} = \frac{G_{s}}{1 + e_{max}}{\rho_{w}}\] \[\rho_{dmax} = \frac{G_{s}}{1 + e_{min}}{\rho_{w}}\] \[\rho_{d} = \frac{G_{s}}{1 + e}{\rho_{w}}\]

다음 식에

\[D_{r} = \frac{\rho_{dmax}}{\rho_{d}} \times \frac{\rho_{d} - \rho_{dmin}}{\rho_{dmax} - \rho_{dmin}} \times 100(\%)\]

대입하여 정리하면,

\[D_{r} = \frac{\frac{G_{s}}{1 + e_{min}}{\rho_{w}}}{\frac{G_{s}}{1 + e}{\rho_{w}}} \times \frac{\frac{G_{s}}{1 + e}{\rho_{w}} - \frac{G_{s}}{1 + e_{max}}{\rho_{w}}}{\frac{G_{s}}{1 + e_{min}}{\rho_{w}} - \frac{G_{s}}{1 + e_{max}}{\rho_{w}}} \times 100(\%)\] \[= \frac{1 + e}{1 + e_{min}} \times \frac{\frac{e_{max} - e}{(1 + e)(1 + e_{max})}}{\frac{e_{max} - e_{min}}{(1 + e_{min})(1 + e_{max})}} \times 100(\%)\] \[= \frac{(1 + e_{max})(e_{max} - e)}{(1 + e_{max})(e_{max} - e_{min})} \times 100(\%)\] \[= \frac{(e_{max} - e)}{(e_{max} - e_{min})} \times 100(\%)\]

\[\therefore D_{r} = \frac{e_{max} - e}{e_{max} - e_{min}} \times 100 = \frac{\rho_{dmax}}{\rho_{d}} \times \frac{\rho_{d} - \rho_{dmin}}{\rho_{dmax} - \rho_{dmin}} \times 100(\%)\]