Soil Mechanics: 흙의 기본적 성질 - 1
흙의 각 성분 사이의 관계
무기질의 흙덩이는 고체인 흙 입자와 액체인 물 그리고 기체인 공기 이렇게 세 가지 성분으로 구성되어 있다.
물론 항상 흙덩이가 위의 세 가지 성분으로 구성되는 것은 아니다.
경우에 따라서는 공기나 물이 제외되어 있을 수도 있다.
반면에, 유기질토는 무기질토가 가지는 위의 세 가지 구성 성분 외에도 유기물질까지 포함한다.
흙덩이에서 흙 입자, 물 그리고 공기의 세 가지 성분을 따로 분리하여 표시하면 다음과 같다.
위와 같은 그림을 삼상도라고 하는데, 아마 위의 그림을 보고나면 다음과 같은 의문이 들 것이다.
왜 공기의 무게는 고려하지 않았을까?
사실 필자가 사용하는 교재에 실려있는 삼상도의 경우에는 공기의 무게가 고려되어 표시되어 있었다.
그러나 토질역학에서는 공기가 무게를 가지고 있지 않다고 간주하기 때문에 앞으로 필자가 업로드하는 문제들을 풀이할 때도 공기의 무게는 고려하지 않아도 괜찮다.
자 이제 다시 위로 올라가서 삼상도를 확인하자.
여러분이 보고 있는 바로 이 삼상도는 상당히 중요한데, 그 이유는 지금부터 소개할 여러 중요한 식들이 이 삼상도로부터 도출되기 때문이다.
간극비, 간극률
간극비 \(e\)는 흙 입자의 용적에 대한 간극의 용적비이다.
앞으로 ‘~에 대한’ 이라는 말이 나오면, 가령, ‘x에 대한 y’라는 꼴이 나오게 되면 \(\frac{y}{x}\)를 생각하자.
비슷한 경우로 ‘~당’ 이라는 말이 나오면, 가령, ‘x 당 y’라는 꼴이 나오게 되면 이것 역시 위의 식을 생각하면 된다.
즉, 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.
\[e = \frac{V_{v}}{V_{s}}\]위 간극비 식에서 사용된 각 기호들이 위의 삼상도에 표시되어 있는 것을 확인해보자.
간극비(\(e\))는 소수로 표시되는데, 대단히 촘촘하고 입도분포가 좋은 사질토의 경우에는 0.3 정도 밖에 되지 않지만, 어떤 점토는 2.0이나 그 이상이 될 수도 있다.
또한, 간극률(\(n\))이라는 것도 정의할 수 있는데, 간극률은 흙덩이 전체의 용적에 대한 간극의 용적비를 백분율로 표시한 것이다.
즉, 이것도 마찬가지로 식으로 표현해보면 다음과 같다.
\[n = \frac{V_{v}}{V} \times 100(\%)\]이것도 위의 삼상도를 참조하자.
위에서 정의한 간극비와 간극률 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
\[e = \frac{V_{v}}{V_{s}} = \frac{V_{v}}{V-V_{v}} = \frac{\frac{V_{v}}{V}}{(\frac{V}{V}) - (\frac{V_{v}}{V})} = \frac{n}{1-n}\] \[n = \frac{V_{v}}{V} = \frac{V_{v}}{V_{s} + V_{v}} = \frac{\frac{V_{v}}{V_{s}}}{(\frac{V_{s}}{V_{s}}) + (\frac{V_{v}}{V_{s}})} = \frac{e}{1+e} \times 100(\%)\]시간 여유가 있을 때, 위의 식을 한번씩 손으로 써보면서 증명해보자.
증명의 방향은 왼쪽에서 오른쪽이든, 오른쪽에서 왼쪽이든 무관하다.
포화도
포화도(\(S\))는 간극의 용적에 대한 간극 속에 포함되어 있는 물의 용적비를 백분율로 표시한 것이다.
그러므로 포화도는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.
\[S = \frac{V_{w}}{V_{v}} \times 100(\%)\]여기서, \(S = 100\%\)라면 간극 속에 물이 완전히 채워져 있는 것이고, 공기는 그 속에 존재하지 않는 상태인 것이다.
이러한 상태에 있는 흙을 ‘완전히 포화되었다’ 라고 기술하는데, 지하수위 아래에 있는 흙들이 대개 완전 포화에 가깝다.
또한, 흙을 노건조시키면 그 흙의 포화도는 \(0\)이다.
이러한 특수한 경우들이 문제로 출제될 가능성이 높으니 잘 유념해야 한다.
함수비
함수비(\(\omega\))는 흙 입자의 질량에 대한 수분의 질량의 백분율로 정의된다.
그러므로 함수비를 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.
\[\omega = \frac{M_{w}}{M_{s}}\]질량 \(M\)에 대해서 아래 첨자(Subscript)를 잘 확인해보자.
물인 water와 흙의 solid의 앞 글자 w와 s를 따온 것을 확인할 수 있다.
만약 \(105^\circ{C}\) 내지 \(110^\circ{C}\)의 건조로에서 흙이 건조되었다면, 이때의 함수비는 \(0\)이다.
비중
비중이란 \(4^\circ{C}\)에서의 물의 밀도에 대한 어느 물질의 밀도로 정의된다.
그러므로 흙의 비중을 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.
\[G_{s} = \frac{\rho_{s}}{\rho_{w}(4^\circ{C})}\]여기서 \(\rho_{w}\)는 물의 밀도, \(\rho_{s}\)는 흙 입자의 밀도이고, 다음 식으로 표현한다.
\[\rho_{s} = \frac{M_{s}}{V_{s}}\]그리고 \(T^\circ{C}\)에서의 물의 비중은 다음 식으로 표현한다.
\[G_{w} = \frac{\rho_{w}(T^\circ{C})}{\rho_{w}(4^\circ{C})}\]여기서 각각 \(\rho_{w}(T^\circ{C})\)와 \(\rho_{w}(4^\circ{C})\)는 각각 \(T^\circ{C}\)에서의 물의 밀도와 \(4^\circ{C}\)에서의 물의 밀도이다.
한국공업규격에서는 \(\rho_{w}(15^\circ{C})\)를 기준으로 비중을 측정하고 있다.
함수비, 포화도 및 간극비 사이의 관계
함수비, 포화도 및 간극비 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.
\[\omega = \frac{M_{w}}{M_{s}} = \frac{\rho_{w}V_{w}}{\rho_{w}G_{s}V_{s}} = \frac{\rho_{w}SV_{v}}{\rho_{w}G_{s}V_{s}} = \frac{Se}{G_{s}}\]그러므로 다음과 같은 관계식을 도출할 수 있다.
\[G_{s}\omega = Se\]위 관계식은 함수비의 정의로부터 유도가 가능하다.
개인적으로 문제에서 특정 조건이 부재할 때, 대개 위의 관계식을 통해서 구한다.
흙의 밀도
흙의 밀도는 흙덩이의 질량을 이에 대응하는 용적으로 나눈 값이다.
밀도의 단위는 \(g/cm^{3}\) 또는 \(Mg/m^{3}(t/m^{3})\)으로 표시된다.
곧 알게 되겠지만 흙의 밀도는 꽤나 다양해서 ‘이것을 다 어떻게 암기하지?’라는 걱정이 생길 수 있으나, 지금부터 설명할 전체 밀도 식 하나만 알고 있어도 설명할 건조 밀도와 포화 밀도들을 쉽게 유도할 수 있다. (그러니 집중에 집중을 거듭하자.)
전체 밀도
흙의 전체 밀도 \(\rho_{t}\)는 자연 상태에 있는 흙의 질량을 이에 대응하는 용적으로 나눈 값이다.
즉,
\[\rho_{t} = \frac{M}{V} = \frac{G_{s} + Se}{1 + e}\rho_{\omega} = \frac{1 + \omega}{1 + e}G_{s}\rho_{\omega}\]이다.
위에서 필자가 말했듯이 위 식의 \(\rho_{t} = \frac{G_{s} + Se}{1 + e}\rho_{w}\)으로부터 다른 밀도 식을 유도할 수 있음을 보이겠다.
건조 밀도
흙을 노건조시켰을 때의 밀도를 건조밀도라고 한다.
즉, 이를 식으로 표현하면,
\[\rho_{d} = \frac{M_{s}}{V} = \frac{G_{s}}{1 + e}\rho_{w}\]이다.
또한, 건조 밀도와 전체 밀도 사이에는 다음과 같은 관계가 존재한다.
\[\rho_{d} = \frac{\rho_{t}}{1 + \omega}\]다시 위의 건조 밀도의 정의 식으로 돌아가서 전체 밀도의 식과 한번 비교해보자.
(비교의 용이함을 위해 아래에 한번 더 기술했다.)
전체 밀도
\[\rho_{t} = \frac{G_{s} + Se}{1 + e}\rho_{\omega}\]건조 밀도
\[\rho_{d} = \frac{G_{s}}{1 + e}\rho_{w}\]그리고 건조 밀도의 노건조라는 키워드에 집중해보자.
뭔가 떠오르는것이 없는가?
앞서 필자가 포화도에 대해서 설명할 때 노건조라는 말을 언급했었는데, 다음과 같다.
흙을 노건조시키면 그 흙의 포화도는 \(0\)이다.
그렇다. 그냥 단순하게 전체 밀도의 식에서 포화도 \(S\)에 \(0\)을 대입하면 건조 밀도의 식이 유도되는 것이다.
‘이러한 방식이 다음의 포화 밀도에서도 통용될까?’하는 생각을 가지면서 포화 밀도에 대해서 알아보도록 하자.
포화 밀도
흙이 수중에 있거나 또는 모관작용에 의하여 완전히 포화되었다면, 이때의 밀도는 \(S = 100%\)일 때의 전체 밀도이다.
그러므로 포화 밀도를 식으로 표현하면 다음과 같다.
\[\rho_{sat} = \frac{G_{s} + e}{1 + e}\rho_{\omega}\]눈치챘는가? 건조 밀도에서의 방식이 여기서도 통용될 것이라고 생각하였다면, 정답이다.
이미 정의에서부터 \(S\)가 \(1\)이기 때문이다.
수중 밀도
수중 밀도는 흙이 지하수위 아래에 있으면 부력을 받는데, 이때의 밀도는 포화밀도에서 물의 밀도를 뺀 값만큼 감소하므로 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.
\[\rho_{sub} = \rho_{sat} - \rho_{\omega} = \frac{G_{s} + e}{1 + e}\rho_{\omega} - \rho_{\omega} = \frac{G_{s} - 1}{1 + e}\rho_{\omega}\]이렇게 밀도에 대한 설명을 마무리 짓고, 단위 중량에 대해서 알아보도록 하자.
단위중량
단위중량은 유체역학 과목에서도 등장 빈도가 높은 녀석이다.
아직 필자는 대학교에서 기초유체역학 과목만 수강하였기에 유체역학에서 다양한 단위중량이 존재하는지 그 존재성조차 입증하진 못해서 우선 지금으로서는 토질역학의 단위중량이 더 다양한 것으로 판단되어진다. (부족한 식견이다,,, 양해를 부탁드린다,,, 본 포스팅은 앞으로도 지속적으로 업데이트 될 예정이다. 특히 이번 학기 유체역학 과목을 수강하고 있으니 조만간 유체역학에서 다양한 단위중량을 접하게 된다면, 두 분야의 단위중량의 차이를 한번 비교 분석해보겠다.)
암튼 각설하고 단위중량의 정의부터 알아보자.
단위중량은 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 다음과 같이 정의된다.
\[\gamma = \rho{g}\]여기서 \(\gamma\)는 단위중량이고, \(g\)는 중력 가속도이다.
중력 가속도는 상식적으로 알고 있으리라 믿는다. (중력 가속도 \(g\)는 대략 \(9.807 m/s^{2}\)이다. 편의상 중력 가속도의 값으로서 9.8이나 10을 사용하자.)
단위중량의 단위는 \(kg\cdot{m}/s^{2}/m^{3} = N/m^{3}\)이다.
사실 단위중량은 단순히 밀도에 중력 가속도를 곱하여 SI 단위로 그 값을 쉽게 구할 수 있다.
그렇기에 단위중량도 앞서 밀도와 마찬가지로 전체 단위중량, 건조 단위중량, 포화 단위중량, 수중 단위중량이 존재한다.
위의 설명은 일반적인 단위중량에 대한 설명이고, 흙의 단위중량에 대한 정의를 알아보자.
흙의 단위중량이란 흙덩이의 중량을 이에 대응하는 용적으로 나눈 값을 말하며, (앞서 필자가 설명했듯이) 밀도의 공식을 이용하여 단위중량의 식을 유도할 수 있다.
그러므로 별도의 설명없이 식만 작성하겠다,,,
전체 단위중량
\[\gamma_{t} = \frac{G_{s} + Se}{1 + e}\gamma_{\omega} (kN/m^{3})\]여기서, \(\gamma_{\omega}\)는 물의 단위중량으로, \(9.80kN/m^{3}\)이다.
건조 단위중량
\[\gamma_{d} = \frac{G_{s}}{1 + e}\gamma_{\omega} (kN/m^{3})\]포화 단위중량
\[\gamma_{sat} = \frac{G_{s} + e}{1 + e}\gamma_{\omega} (kN/m^{3})\]수중 단위중량
\[\gamma_{sub} = \gamma_{sat} - \gamma_{\omega} = \frac{G_{s} - 1}{1 + e}\gamma_{\omega} (kN/m^{3})\]자 암튼 이렇게 해서 흙의 기본적 성질 1편을 마무리 짓겠다.
다음 포스트는 흙의 기본적 성질 2편을 이어서 연재하지 않고, 이번 포스트에서 다룬 내용을 가지고 대부분의 문제를 풀이할 수 있기 때문에 그러한 문제들을 포스팅할 계획이다. 그러니 반드시 ! 꼭 ! 시간내서 복습을 했으면 좋겠다,,,
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